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NOTE II.

Sur le jeu des ponts et des îles.

Nous avons vu (p. 35) que le jeu des ponts se ramène à la description par un ou plusieurs traits continus, sans répétition, de toutes les figures formées de lignes droites ou courbes, dans le plan ou dans l’espace. Cette étude se résume dans les deux théorèmes suivants:

Théorème I. – Dans tout réseau géométrique formé de lignes droites ou courbes, le nombre des points impairs est toujours zéro on un nombre pair.

Ce théorème se trouve complètement démontré dans le mémoire d’Euler {223} (p. 31); on peut encore donner à la démonstration la forme suivante: Désignons par A, B, C, D, …, les diverses stations du réseau, les divers points d’embranchement, les têtes de ligne; soient P et Q deux stations voisines, c’est-à-dire telles que l’on puisse aller de P en Q par un ou plusieurs chemins, sans rencontrer d’autres stations du réseau. Si l’on supprime l’un de ces chemins PQ, le nombre des chemins qui aboutissent en P et en Q diminue d’une unité et change de parité. Par conséquent, si P et Q sont des points impairs, ils deviennent pairs par cette suppression; si P et Q sont pairs, ils deviennent impairs; enfin si P et Q sont de parité différente, ils demeurent de parité différente. Donc la parité du nombre des points impairs ne change pas par cette suppression [11]. Par suite, en supprimant successivement tous les chemins qui unissent deux stations voisines, jusqu’à ce qu’il n’en reste aucun, le nombre des points impairs est nul; ce nombre était donc zéro ou un nombre pair, avant la suppression.
c. q. f. d.

Remarque. – Ce théorème s’applique aux canevas géodésiques. Dans une chaîne de triangles, il y a toujours un nombre pair de sommets où aboutissent, en nombre impair, des angles réduits a l’horizon, tandis que le nombre des sommets où aboutissent des triangles en nombre pair peut être pair ou impair.

Théorème II. – Tout réseau géométrique qui contient 2n points impairs peut être décrit par un nombre minimum de n traits sans répétition. Tout réseau géométrique, qui ne contient que des points pairs, peut être décrit par un seul trait sans répétition.

On suppose que le réseau est continu, c’est-à-dire que l’on peut aller d’un point quelconque du réseau à un autre par un chemin continu. D’ailleurs, dans le cas de plusieurs réseaux séparés, il suffit d’appliquer à chacun d’eux les théorèmes précédents. Cela posé, si l’on part d’un point impair A et si l’on chemine au hasard, sans repasser sur la même voie, on sera forcé de s’arrêter à un certain moment; en observant que dans cette marche on ne change point la parité des stations que l’on traverse, on en conclura que le point d’arrêt est un point impair B. En supprimant le parcours AB, on obtient ainsi une figure qui ne possède plus que (2n − 2) points impairs.

Après n parcours analogues, il ne restera donc qu’un réseau dont les stations sont d’ordre pair.

Maintenant, si l’on part d’un point quelconque M du réseau restreint, et si l’on chemine au hasard, on ne se trouvera arrêté qu’en revenant au point de départ M, après avoir décrit une courbe fermée. Après avoir décrit un certain nombre de boucles semblables, on aura parcouru tout le réseau. Mais, puisque le réseau est continu, ces boucles peuvent venir se souder {223} soit les unes sur les autres, puis sur les n chemins qui ont été décrits primitivement. Par suite, le réseau peut être décrit en n traits continus au plus.
c. q. f. d.

Remarque. – Une figure dont tous les points sont pairs peut être considérée, de plusieurs façons, comme une seule courbe fermée. Cette observation trouve son emploi dans la théorie des courbes unicursales.

NOTE III.

Sur le jeu des labyrinthes.

Le problème des labyrinthes est un cas particulier du problème des ponts et des îles; en effet, puisque l’on doit parcourir deux fois chaque chemin, cela revient à la description d’un réseau qui ne contient que des points d’ordre pair [12]. Mais, dans ce cas particulier, on peut décrire le réseau sans en connaître la forme, tandis qu’il n’en est plus de même dans le cas général.

La théorie des ramifications se ramène encore au problème d’Euler. D’ailleurs il résulte immédiatement du second théorème de la note précédente, que le nombre N, base de la ramification, est égal à la moitié du nombre des points impairs, c’est-à-dire du nombre l des extrémités libres augmenté du nombre des nœuds d’ordre impair. Désignons par i le nombre des nœuds d’ordre impair, par j le nombre des nœuds d’ordre pair, on a, en se reportant aux formules de la page 53,

En combinant les diverses expressions du nombre N, on obtiendra quelques autres formules.

Remarque. – Dans le premier volume de la Théorie des Nombres [13], nous avons consacré un chapitre spécial à la Géométrie de situation. Ce chapitre renferme de nombreux et nouveaux développements sur le jeu des ponts et des îles et sur le jeu des labyrinthes au paragraphe intitulé: Les Réseaux.

On y trouve d’autres développements sur l’emploi des échiquiers arithmétiques, sur les polygones et sur les polyèdres, sur les régions et sur des théorèmes de Guthrie et d’Hamilton, de MM. Tait et G. Tarry.